Calculatrice de PGCD et PPCM
Saisis deux entiers positifs pour obtenir leur PGCD et leur PPCM, par exemple pour simplifier des fractions.
- Plus grand commun diviseur (PGCD)
- 6
- Plus petit commun multiple (PPCM)
- 36
Comment se calculent le PGCD et le PPCM
Le PGCD se calcule avec l'algorithme d'Euclide. Le PPCM se déduit du PGCD : on divise le produit des deux nombres par leur PGCD.
L'algorithme d'Euclide divise le plus grand nombre par le plus petit et remplace le plus grand par le reste, jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD. À l'école, on apprend aussi la décomposition en facteurs premiers : les facteurs communs avec le plus petit exposant donnent le PGCD, tous les facteurs avec le plus grand exposant donnent le PPCM.
PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b), jusqu'à ce que le reste soit 0
Le PGCD sert à simplifier complètement des fractions et à répartir des objets en groupes identiques sans reste (12 stylos et 18 gommes dans le maximum de pochettes identiques). Le PPCM sert à additionner des fractions de dénominateurs différents (dénominateur commun) et à synchroniser des événements périodiques, comme deux bus passant toutes les 12 et 18 minutes.
PPCM(a, b) = (a × b) ÷ PGCD(a, b)
Exemple pratique
PGCD(84, 126) = 42 et PPCM(84, 126) = 252. Euclide : 126 = 1×84 + 42, puis 84 = 2×42 + 0, donc le PGCD vaut 42. Pour simplifier 84/126, divise numérateur et dénominateur par 42 et tu obtiens 2/3.
Questions fréquemment posées
- Qu'est-ce que le PGCD ?
- Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre qui divise deux nombres ou plus sans reste.
- Qu'est-ce que le PPCM ?
- Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre qui est multiple de deux nombres ou plus à la fois.
- À quoi servent le PGCD et le PPCM ?
- Le PGCD sert à simplifier des fractions, le PPCM à additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, ainsi que dans les problèmes d'événements périodiques.
- Comment simplifier une fraction avec le PGCD ?
- Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur puis divise-les tous les deux par cette valeur : 84/126 avec un PGCD de 42 devient 2/3.
- Ça marche avec des nombres décimaux ?
- Non. PGCD et PPCM sont définis pour des entiers positifs.
- Comment fonctionne l'algorithme d'Euclide pas à pas ?
- Divise le plus grand nombre par le plus petit et note le reste ; recommence avec le diviseur et ce reste jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur utilisé est le PGCD.